Épluchez et mincez les oignons. Dans une poêle, faites-les revenir dans 2 cuillères à soupe d'huile d'olive à feu moyen pendant 3 minutes jusqu'à ce qu'ils soient translucides. Ajoutez les poivrons rouges et les piments verts en lamelles. Mélangez et faites cuire 10 minutes à feu doux, en remuant de temps en temps, jusqu'à ce que les poivrons soient tendres et légèrement caramélisés.
Ajoutez l'ail pressé, le bouquet garni et les tomates coupées en morceaux. Poursuivez la cuisson 15 minutes à feu doux, en mélangeant de temps en temps, jusqu'à ce que la sauce épaississe. Salez et poivrez. Si vous le souhaitez, ajoutez une pincée de piment d'Espelette pour relever le tout. Retirez le bouquet garni.
Dans un saladier, battez les œufs avec une fourchette jusqu'à ce qu'ils soient homogènes. Versez les œufs sur la base de légumes dans la poêle. Mélangez énergiquement avec une cuillère en bois. Poursuivez la cuisson 5 minutes à feu doux, en remuant constamment, pour obtenir une texture de brouillade crémeuse. Les œufs doivent rester moelleux.
Faites chauffer une poêle antiadhésive avec 1 cuillère à soupe d'huile d'olive. Faites-y griller les tranches de jambon de Bayonne 30 secondes de chaque côté jusqu'à ce qu'elles soient croustillantes. Déposez-les sur le dessus de la piperade.
Servez immédiatement avec de grosses tranches de pain grillé. La piperade peut être accompagnée d'une salade verte.
